Gold is 19 times as heavy as water and Copper is 9 times as heavy as water. Calculate the ratio in which these two metals should be mixed so that the mixture is 15 times as heavy as water.

দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions) হল গাণিতিক এক পদ্ধতি যার মাধ্যমে \( (a + b)^n \) আকারের দ্বিপদী রাশিকে প্রসারিত করে ধারা আকারে প্রকাশ করা হয়। এই বিস্তৃতিতে মূলত দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem) ব্যবহৃত হয়, যা যেকোনো ধরণের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তির জন্য কার্যকর।

দ্বিপদী উপপাদ্য

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে, \( (a + b)^n \) এর বিস্তৃতি নিম্নরূপ হয়:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

এখানে,

• \( \binom{n}{k} \) হল \( n \) থেকে \( k \) বেছে নেওয়ার সমাবেশ সংখ্যা, যা "বাইনোমিয়াল সহগ" (Binomial Coefficient) নামে পরিচিত। এটি গণনা করা হয় নিচের সূত্রে:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
\]

• \( a^{n-k} \) এবং \( b^k \) শব্দগুলি \( a \) ও \( b \)-এর বিভিন্ন ঘাত নির্দেশ করে।
• বিস্তৃতিতে \( n+1 \) সংখ্যক পদ থাকে।

উদাহরণ

যদি \( (a + b)^3 \) গণনা করতে চাই, তাহলে উপপাদ্য অনুসারে:

\[
(a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3
\]

যার মান হবে:

\[
= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

দ্বিপদী সহগের গুণাগুণ

দ্বিপদী সহগের কিছু গুণাগুণ রয়েছে যা দ্বিপদী বিস্তৃতিতে ব্যবহার করা হয়। যেমন:

1. \( \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \)
2. \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \)

দ্বিপদী বিস্তৃতির প্রয়োগ

দ্বিপদী বিস্তৃতি বিভিন্ন গাণিতিক এবং পরিসংখ্যানিক সমস্যায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন সম্ভাবনা নির্ধারণ, ধারার গঠন, এবং অন্যান্য গাণিতিক কার্যকলাপে।